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龙骨水车之拓扑相变--量子霍尔效应科普

热度 4已有 8639 次阅读2016-10-13 08:56 |个人分类:科普|系统分类:教育

几天前，我写了篇关于拓扑与量子化的介绍文章，少年科学画报的小编觉得有趣，拿去稍作修改发在其微信群了。少年科学画报的读者是小朋友，我的文章里面的很多内容小朋友是可以看懂的。但是我原博文毕竟是写给科学网的读者们，大部分都有博士学位，具有相当的背景知识。量子拓扑之母是整数量子霍尔效应。怎么写得更加直观点，让没有量子物理背景的人也明白呢？我这两天一直在思考这个问题。

首先我回顾下什么是经典霍尔效应，所谓经典就是不考虑量子效应，纯粹的经典电磁学。运动电荷在磁场中会受到垂直于磁场与电荷速度的作用力而拐弯。电流可以视为电荷的运动，在导体里，电流的方向一般平行于电场。但如果导体放在磁场中，由于需要平衡这个磁力，结果会在垂直于电流的方向有个电场。这个垂直方向的电压与电流的比例叫着霍尔电阻。如下图， R_H = V_H / I 。磁场为零时，没有霍尔效应，霍尔电阻是零。霍尔电阻是随磁场增加而增加的。

现在我们考虑一个二维的电子气体。假设单位面积的电子数量为 n_e，电子在电压 V_x 下漂移运动速度为 v，那么磁力为 v*B, 霍尔电压是 v *B * W , 而电流是 I = e* n_e * W * v，我们发现霍尔电阻是

[ix]R_H = \frac{V_H}{I_x} = \frac{ v B W}{e v n_e W }=\frac{B}{e n_e}[/ix]

非常令人惊奇的是，这个霍尔电阻与宽度 W 无关，与电子的漂移速度无关，只与电子的密度与磁场有关（正比于磁场）。进一步审视这个公式，我们发现霍尔电阻与单位磁通量包含的电子数成反比。经典理论已经有点神奇了。

进一步实验发现更为神奇的现象，强磁场下继续变化磁场，发现霍尔电阻随磁场的变化出现台阶。每一个台阶上，增大磁场，霍尔电阻不变，而且这个电阻值精确地等于普朗克常数除以电子电荷的平方再除以一个整数。继续增大磁场，霍尔电阻跨上一个新的台阶。每个台阶上的霍尔电阻值精确度达到几十亿分之一。我们把这个现象称为整数量子霍尔效应。而且在这个霍尔电阻的平台区，系统在图中的纵向（x）是不导电的，相当于一个绝缘体（纵向电阻为零--为什么？）。在两个台阶之间，系统在纵向则是导电的。用行话说，霍尔电阻的平台区的能带是有间隙（gapped）状态，在不同的有间隙状态之间过渡必须经过一个无间隙状态 ( gapless )。无间隙到有间隙的变化，被视为一种相变。

下面我用一个祖先发明的机械--龙骨水车--说明这个问题。据说这个水车装置三国时代就有了，宋代有明确文字记载。元代的《农书》更是详细进行了描述。据最新历史研究，达芬奇及其前人就是直接、间接看了中国的《农书》，大肆模仿，设计了很多机械，从而引发了欧洲的文艺复兴。太年轻没有见过这个水车的，可以在网上搜索一下相关视频，看它是如何把水从低处抽到高处的。

首先，上图中水泵上面的转轮只有逆时针方向转才工作，倒转不行。我们说这个系统破坏了 time reversal symmetry。如果我们把水车的上面作为一个黑盒子，转动上面的转轮（开始抽水），测量上面出水口的水流量，把水量作为上面那个转轮转动的角度的函数画个图，会是个什么图形呢？由于水车每一节的水都不会装满，一块隔板从上面透出时，上面出水口没有水，继续转动，下面的木板把水推上来，开始有水了。画个图，那么在角度为整数倍时水量为零、相当于绝缘，经过一个范围水量有了，然后又是水量为零。如果把这个图画下了，告诉一个搞凝聚态物理的，说这是某种破坏了 time reversal symmetry 的系统电阻随某个角度的变化，他也许会惊呼：topological phase transition! 然后他会追究什么 edge states，bulk-edge correspondence 之类。

量子霍尔效应其实跟这个系统也差不多，可以用所谓的 Thouless pump 解释。下面的解释是 Laughlin 给出的。考虑下面的二维环状量子霍尔系统（磁场垂直于圆环面）。假设我们在一段时间内通过中间的孔增加一个磁通量 \Phi_0。我们知道这个变化的磁通量会在绕环的方向产生一个电动势，会对绕环的电流 I 做功。这个能量应该使电荷 Q 从一个边缘到另一个边缘。