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科普：小学微积分入门
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前面看了老虎转帖的陈景润科普微积分，其中写道【读理工和经济的人都知道，从初等数学到高等数学的第一个坎就是微积分的极限理论。这就是微积分教学中臭名昭著的数列极限一扑死弄——Ｎ理论】。而陈景润举了一个【“一尺之棰，日取其半，万世不竭”】例子。假设这个转帖是事实，陈景润确实讲了这么一堂科普，我觉得下面鼓掌的人多半是稀里糊涂。
我的评论是：【陈景润的科普在我看来相当的蹩脚。首先他没有解答一个问题：学数学学昏了，要搞 ϵ做什么？牛顿发明微积分时用的符号是0+，牛顿之后100多年，搞数学的才引入这个ϵ，所以你得解释动机，否则听的人再鼓掌，也是稀里糊涂。其次，他举的例子显得笨拙。你要解释这个只需要用1/n即可，N很简单1/\epsilon。他找了一个对半分的，那么N就需要涉及对数。而且他显然对对半分10000次缺乏概念。】
第一点要打破的是所谓“极限理论”是初等数学到高等数学的第一个坎的教条。这种认识是死读书、读死书的结果。确实，上高数时，课本大多一开始就讲这个[ix]\epsilon-\delta[/ix]，学生也会依样画葫芦搞几个证明。但牛顿、莱布尼茨、欧拉、柯西、伯努利、拉格朗日这些物理、数学大师玩微积分（包括变分法）玩到极致，从行星轨道、波动方程（偏微分方程）、流体力学到分析力学（变分法），都从来没有听说过什么[ix]\epsilon-\delta[/ix]。这说明搞微积分根本不需要知道这个“一谱系笼”。这个[ix]\epsilon-\delta[/ix]对于物理科学、工程、经济类来说其实没用，你在解决微积分应用问题时不需要这个。那些死读书的正是因为没有搞清基本概念，看得莫名其妙，才把它当成了圣经。
所以，学东西得用脑子，不能被老师牵着鼻子、跟着课本走。
下面我来科普一下微积分，五分钟搞定。
假设你手拿一个小球爬到一个万丈深渊边上、向下俯看，突然手一松，球掉下去了。你发现，随着时间的推移，小球掉下去的距离越远（或者说越来越深）。一秒钟后，你发现它掉下去5米，两秒钟后已经下去20米，三秒钟的时候，掉到了45米的深度。你脑袋一拍，意识到这个掉下去的距离 H(米为单位）与时间t（秒为单位）的关系应该是5乘以t的平方： [ix]H=5 t^2[/ix]。有了这个距离与时间的关系，你可以计算出4秒钟的时候，小球掉下去5*4*4 = 80（米）。类似的，3.99秒时，其掉下的距离为 5*3.99*3.99= 79.6005 米 。
好有了这个，我们可以开始搞微积分了。我们提出一个问题：4秒钟的时候，小球的速度是多大？
小学生都知道，速度等于距离除以时间。比较天真的小学生会想：四秒钟的时候，小球掉下去80米，速度是80/4 = 20 米每秒。
但如果在仔细想想，小球开始是不动的，越往下掉越快，上面这个数字不是4秒钟时候球的速度，而只是前4秒钟的平均速度。
那四秒钟的时候，速度怎么算更准确？让我们考虑从3.99秒到4秒之间这百分之一秒小球的运动情况，距离是 80-79.6005= 0.3995米，时间是 0.01秒，距离除以时间得 39.95 米每秒。
当然这其实还是一个0.01秒的平均速度，我们如果要更精确点，可以算算 3.999秒到4秒之间千分之一秒的情况，距离是 5*4*4 - 5*3.999*3.999 = 0.039995米，时间是0.001秒，得出速度为39.995米每秒。你可以把时间间隔变得更小，继续精算，发现这个速度更加接近 40米每秒。
以上是小学算术。下面我们用点初中数学，搞点符号运算。让我们算一下从时刻 t 到时刻 t + h 的平均速度， 我们有
距离 = [ix] D = 5 (t+h)^2 - 5t^2 = 5(t^2+2th +h^2) - 5t^2 = 10t h + 5h^2[/ix],而时间就是 [ix]t+h-t =h[/ix]。
因此，平均速度是[ix]v= (10 th + 5h^2)/h = 10 t + 5h[/ix] 。
以上是初中数学。这是没有问题的吧？我们可以把前面的数字放进去，结果是一样的。例如要算从0秒到4秒的平均速度，t=0, h=4, 得出 v = 10*0 + 5 *4 = 20。又如 3.99秒到4秒，也就是t = 3.99, h = 0.01， 得出v = 10 *t + 5*h = 10*3.99 + 5*0.01=39.95，跟我们上面用小学算术算出的结果相同。
另外，我们看到，如果时间差 h 设得更小一点，这个5*h项也就越来越接近0，我们何不干脆忽略它，而把[ix]v=10t [/ix]称为时刻t的速度？
可以说，这个考虑h微小而把h扔掉的这一步就是微积分的核心思想。
当然了，反对的人会这么讲：如果h为0，你上面就是0除以0，除以0 是不可以的，如果h不为0，你又怎么说[ix]v=10t + 5 h= 10t[/ix]呢? 不管h多小，这个等式是不成立的。
牛顿发明微积分后100多年，大部分数学家、物理学家对上述质疑基本不予理睬，因为他们没时间去在这个问题上纠缠。
等微积分领域能玩的东西都玩得差不多了，还有人提出这个问题烦人，甚至有人还嘲笑微积分是鬼扯，数学家们这才觉得这个等号确实不够严谨，于是把等式换成不等式，也就是
[ix]10t < v < 10t + 5h[/ix]， h --> 0， v --> 10t.
这下大家都没话讲了。这就是所谓的“一谱戏聋--得耳塌”。
对微积分感兴趣的，可以继续自学，但这东东其实小学生也能理解，没那么玄乎。
