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科普：初中微积分入门（系列之2）
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我写《科普：小学微积分入门》一文的目的主要是改变数学呆子们把微积分搞得死气沉沉、臭气熏天还故弄玄虚的局面，返璞归真。前文提到，高数课本里什么”一铺西陇-德尔塔”完全是误人子弟的孔乙己思维，牛顿、莱布尼茨、欧拉、柯西、伯努利、拉格朗日这些物理、数学大师根本都没有听说过这些。所以，我们今天学微积分应该跳过这个迂腐的过程---除非你是数学呆子，才会去证明 [ix]\lim_{x\to 4} x = 4[/ix]。
另外，微积分这个名词也需要解释一下。微积分的原始洋文是calculus，其愿意是"pebble used as a reckoning counter"， 即用于算账数数的小石子。而中文翻译显然是微分+积分之意，并不十分准确。
接下来微积分开始了。我们让上面的h变得很小，看看这个[ix]\frac{e^h -1}{h}[/ix]是多少，小学数学程度的可以用计算器，比如说, h=0.1, [ix] \frac{e^{0.1} -1}{0.1} = 1.05[/ix]; h=0.01, [ix] \frac{e^{0.01} -1}{0.01} \approx 1.005[/ix]; h=0.001, [ix] \frac{e^{0.001} -1}{0.001} \approx 1.0005[/ix]。。。我们估计这个[ix]\frac{e^h -1}{h}[/ix]当h接近零的时候，八成等于1。初中以上数学程度的可以试一下证明它确实等于1。
好，微积分的迷信被破除了，神秘的面纱被剥光了，我们可以直奔主题了。
前文中，我们举了一个例子，如果知道物体的位置如何随时间变化，我们就可以算出它在某个时刻的速度，方法也就是小学算术学的：距离除以时间。不过在微积分中，我们把时间间隔取得极短，最后干脆令时间差接近等于零，算出的速度叫做即时速度。为了复习这个方法，我们再做道练习，顺便用微积分解决一个有意义的物理问题。
假设物体位置x与时间t的关系是 [ix]x = e ^ t [/ix]，该物体的速度是多少，加速度又是多少？
解答：按照前文的方法依样画葫芦,
[ix]v= \frac{x_{t+h} - x_{t}}{h} = \frac{e^{t+h} - e^t}{h}= e^t \frac{e^h -1}{h}[/ix]
以上不过是在计算时刻 t到时刻t+h的平均速度，完全是精确的初中代数，没有任何花头可言。这一点大家都承认吧？
接下来微积分开始了。我们让上面的h变得很小，看看这个[ix]\frac{e^h -1}{h}[/ix]是多少，小学数学程度的可以用计算器，比如说, h=0.1, [ix] \frac{e^{0.1} -1}{0.1} = 1.05[/ix]; h=0.01, [ix] \frac{e^{0.01} -1}{0.01} \approx 1.005[/ix]; h=0.001, [ix] \frac{e^{0.001} -1}{0.001} \approx 1.0005[/ix]。。。我们估计这个[ix]\frac{e^h -1}{h}[/ix]当h接近零的时候，八成等于1。初中以上数学程度的可以试一下证明它确实等于1。
由此，我们就根据初中代数得出一个结论， 如果位置[ix]x = e ^ t [/ix]，速度就是 [ix]v = e ^ t [/ix]，数学公式完全相同（当然单位不同）。
加速度呢？加速度是速度差除以时间差，依法炮制，我们也会得出加速度 [ix]a = e ^ t [/ix]。
现在我们把问题稍微变复杂一点，假设这个指数不是t，而是t乘以一个常数[ix]\lambda[/ix]，也就是说[ix]x = e ^{\lambda t} [/ix]，我们再来算算速度看看？
[ix]v= \frac{x_{t+h} - x_{t}}{h} = \frac{e^{\lambda(t+h)} - e^{\lambda t}}{h}= e^{\lambda t} \frac{e^{\lambda h} -1}{h}[/ix]，
以上又是初中代数，没有任何玄乎。而且我们发现这指数还真有意思，算出速度来又是自己，只是后面乘了一个[ix]\frac{e^{\lambda h} -1}{h}[/ix]，它是多少呢？下面又是初中数学，仅仅是把分子分母同时乘上[ix]\lambda[/ix]：
[ix]\frac{e^{\lambda h} -1}{h} = \lambda \frac{e^{\lambda h} -1}{\lambda h} [/ix]
根据前面的结果我们知道[ix]\lambda h[/ix]很小时，[ix]\frac{e^{\lambda h} -1}{\lambda h} =1[/ix]。因此，[ix]\frac{e^{\lambda h} -1}{h} = \lambda \frac{e^{\lambda h} -1}{\lambda h} = \lambda[/ix]。
所以当[ix]x = e ^{\lambda t} [/ix]，得出速度 [ix]v= \frac{x_{t+h} - x_{t}}{h} =\lambda e^{\lambda t} [/ix]，也就是说 [ix]v = \lambda x[/ix]。
以此类推，我们可以得出加速度 [ix]a =\lambda^2 e^{\lambda t} =\lambda^2 x[/ix]。
有了以上的微积分基础，我们可以用来解决物理中极为重要的振动的问题。小学生都知道牛顿第二定律，F = ma ，初中物理又学过所谓的胡克定律，弹簧的拉力 [ix]F = -kx[/ix], 就是说弹簧的拉力与拉长（或压缩成正比），方向与拉长方向相反（就是你拉它、它往回拉），这个k叫做弹性系数。如果弹簧上栓个质量为m的物体，那么F=ma告诉我们：
[ix]F = -kx = ma [/ix]
也就是说 [ix]a = - \frac{k}{m} x [/ix].
这个 [ix]\frac{k}{m}[/ix]取决于弹簧的弹性系数与所栓的物体质量，对于具体问题来说是个常数。上面这个弹簧振动的方程我们在微积分里被称为一个二阶线性常微分方程，但我们可以不管这些玄乎的名词。
对比一下上面的[ix]x = e ^{\lambda t} [/ix]，推出 [ix]a =\lambda^2 e^{\lambda t} =\lambda^2 x[/ix]，我们可以发现这与弹簧振动的方程是非常类似的。
如果[ix]\lambda^2 = -\frac{k}{m}[/ix], 那么[ix] x = e ^{\lambda t}[/ix]就可以满足上面的振动方程了。
当然了，这个[ix]\lambda = \sqrt{-k/m}[/ix]是个虚数。而根据高中数学，[ix]e^{i\theta} = \cos\theta+ i \sin\theta[/ix] 。也就是说[tx]e^{\sqrt{-\frac{k}{m}}t}= \cos\sqrt{\frac{k}{m}}t + i\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t[/tx]
由此，我们得出弹簧振子会按正弦函数运动，其角频率是 [ix]\sqrt{k/m}[/ix]，频率就是[ix]\frac{\sqrt{k/m}}{2\pi}[/ix]。
发表评论 评论 (8 个评论)
- 回复 岳东晓
- 以你的智商与分析能力，根本无法看懂博士们写的东西。
iMan: “除非你是数学呆子，才会去证明 limx→4x=4。” 你这就是微积分小学不及格的胡扯了。
1）数学呆子是不会去证明 limx→4x=4的。极限证明的是自变量趋于某数时的 ...
无论是我还是方枪枪博士写的。你可能上过大学学过高数，但以你的智商加上大学的迂腐教学，是不可能学懂的。
先做做这个网页上的数学题，https://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/preciselimdirectory/PreciseLimit.html
看你能否证明 [ix]\lim_{x\to5} 7[/ix] = 7 ?
- 回复 岳东晓
- 你确实弱智。我再怎么深入浅出的解释你无法开窍。
iMan: 呵呵，岳博士，你不仅是基础太差，而且是智商太成问题了。
我老人家已经把你的“证明 limx→4x=4的”的笑话剖析得淋漓尽致了，
你就是看不懂啊。要不，你跟方博 ...
f = x 这里的f是一个x的函数，而不是自变量。画图的话是一条45度角的直线。【自变量X和 函数Y（或F(X)）是不分彼此的】 什么脑残思维？
- 回复 岳东晓
- 我写的是：“证明 [ix]\lim_{x\to4} x=4[/ix]。”
iMan: 好，你终于整明白了自变量和函数的区别了。这就将问题大大的简化了，
下面连文科生也能看明白了。
你要证明写的是 "x = 4 " 还是 "f = 4" ...
结果你这蠢才说，【自变量X和 函数Y（或F(X)）是不分彼此的】。
为什么说你蠢而不才呢？你看到了两个x,一个在上面，一个在下面，但没明白这两个x是两个东西。
我于是举了个例子， [ix]\lim_{x\to5} 7=7[/ix]，这下你总算明白了7不是x，但你智商的有限还是不明白上面两个x不同。
- 回复 岳东晓
- 写程序与上面的极限表达式是两回事，但也得有一定的脑子才行。否则也搞不清基本概念。
iMan: 哈哈，在同一个表达式里，自变量X写在不同的地方就是不同的含义？
你不是会编程序嘛，在同一行程序里，同一个变量X可以是两个完全不同的变量？
你后来的例子没 ...
比如说你可以写这样一段代码：
x =x ;
这左右的两个x就是完全不同的东西。
- 回复 岳东晓
- 左边的x用计算机的行话来说叫做”左值”(l-value),右边的x,叫做 "右值“(r-value)。
iMan: 写程序你是专家啊。
请专家给我们解释一下
x =x ;
这左右的两个x究竟是完全不同的两个什么东西？
不同的变量？
- 回复 岳东晓
- 师父只能领进门，你能否领悟全看造化，也就是遗传素质。
iMan: 左值和右值完全不同在哪里？既然是个数值，那差别就很好区别了。请具体说说，其区别何在？！别用一个名字代替另一个名字的文字游戏在胡扯，用一种语言代替另一种 ...
- 回复 岳东晓
- 你要是有点脑子，就应该感谢我告诉你两个词，l-value，r-value，然后就可以自己在网上查了。这个例子也只是回复的原来的问题，一个式子不同的位置出现符号x，可能是指不同的东西。所以学习的时候，要搞清概念，进行区分。
iMan: 呵呵，一捞干的就只能拉稀了。
让你明示证据你就让人自己领悟你的微言大义了。
现在知道当初没拜为为师是多大的战略错误了吧。 ...
但以你的低智商，再怎么启发也是空的。
