在《科普:好奇孩子的三个数乘法问题(2)》,我提到哈密尔顿发现三个数之间不存在乘法,必须有四个数,除了1之外,另外有三个基数 i,j,k,满足
[ix]i^2 = j^2 = k^2 = i jk = -1[/ix]
这样的数称为4元数,可以写成 q = a + b i + c j + bk ,两个这样的数相乘可以像普通乘法一样进行,但是得注意顺序, 因为 ij = - ji = k 。
不过,在我们继续讨论之前,有读者可能要问了,三个数怎么不能相乘? 我们不是三维向量之间的叉乘吗?比如说,力矩就是位置向量 (x,y,z) 与力[ix](f_x, f_y, f_z)[/ix] 之间的叉乘 , [ix]\tau = \vec{r} \times \vec{f} [/ix]。
但是叉乘不是普通意义的乘法,因为它不满足结合律, [ix]A \times (B \times C) [/ix] 与 [ix](A \times B ) \times C[/ix] 一般是不相等的。但是叉乘满足下列关系
[ix]A \times B = - B \times A[/ix]
以及
[ix]A \times (B \times C) = (A\times B) \times C + B \times (A\times C)[/ix]
注意上面的关系类似于导数公式 D(ab) = D (a) b + a D(b)。满足这种关系的代数称为 Lie 代数。叉乘实际上是一种 Lie bracket.
如果我们定义 [a,b] = ab - ba , 那么
[i/2,j/2] = 1/4 ij - 1/4 ji = k/2
[i/2, k/2] = 1/4 ik - 1/4 ki = - j/2
[j/2, k/2] = 1/4 jk - 1/4 kj = = i/2
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