珍珠湾全球网 › 标签 › 微积分

标签: 微积分

相关帖子	版块	作者	回复/查看	最后发表

没有相关内容

相关日志

分享轮回（小小说） - 读岳东晓iMan关于温度的辩论有感: 热度 5 大音希声 2014-7-10 15:23; 上个星期二岳东晓不幸得了心脏病，被送进医院抢救无效，仙逝了，但马上就转世成了一只羊。从天上咕咚一声落在羊圈里的时候，宜修正好在给iMan喂草料。 iMan被这咕咚一声下了一大跳，回头一看，先是惊讶，马上把羊角立了起来。哎呀，是岳东晓呵，怎么你也转世成羊了？啪地一头就撞了过去。岳东晓一看是 iMan就笑了起来，嘿，你转的那个傻蛋文，一窍不通，把我心脏病都气出来了。你中专水平连温度都搞不明白，你有脑子吗？简直就是羊脑子。 iMan说，你说我是羊脑子，还用微积分来证明，你是在算馒头体积嘛？一看就是唬人的。这回可好，你也成羊了。宜修赶紧拿出手机来打电话给铜山，说，铜山你是信教的，赶快祈祷一下上帝，岳东晓和 iMan怎么都轮回到一个羊圈里了？铜山说，咳，别提了，我每天在祈祷上帝，牧羊犬牧羊犬，现在我刚刚轮回成了牧羊犬，一会儿见吧。宜修很郁闷，心想，要是岳东晓轮回成一只母羊，也许 iMan会爱上她，那这个世界该多好啊。; 12265 次阅读|40 个评论

分享科普：从《非诚勿扰》到算符: 热度 2 岳东晓 2013-10-6 03:11; 据说《非诚勿扰》中有洋人回答是否去动物园玩的问题时说道：“我去我不去。” 此人汉语表达是否有效引起了争论。其实这可以归结为一个符号运算的问题。如果写成：“我去？我不去” 意思非常明显。类似于下列C++语言陈述: 我去？不去：不去；甚至可以这样：去？ !去：!去；这里！放在去的前面意思是逻辑否 not，下面也是正确的C++语法去？ not 去：not 去；这说明符号的重要性。必须注意一点的是，以上？: 算符并不等价于 if()else。你可以写：去？！(!去？去：去）：！去；表达一种犹豫不决的心情。一般来说，表达力强的语言其算符(operator) 也多。举例说明，PERL语言有许多算符，所以PERL的表达力绝对强大，有很多PERL语言能够一句话实现的操作，在其他语言可能要写一大段。微积分引入了一个d算符，一个 \int 算符就搞定了，从代数阶段进入分析阶段。爱因斯坦把 x(t) 改写成（x, t)而且加上上标、下标就完成了相对论。物理学中用一个算符代替 { }就完成了从经典力学向量子力学的跨越。而把d换成D就实现了路径积分以及量子场论。在汉语引入标点符号之前，类似的表达就很难文字进行：问你去吗答我去我不去。所以很多汉人在符号运算方面有个先天的劣势。; 个人分类: 科普|3333 次阅读|0 个评论

分享科普：初中微积分入门（系列之2）: 热度 3 岳东晓 2013-10-5 01:02; 我写《科普：小学微积分入门》一文的目的主要是改变数学呆子们把微积分搞得死气沉沉、臭气熏天还故弄玄虚的局面，返璞归真。前文提到，高数课本里什么”一铺西陇-德尔塔”完全是误人子弟的孔乙己思维，牛顿、莱布尼茨、欧拉、柯西、伯努利、拉格朗日这些物理、数学大师根本都没有听说过这些。所以，我们今天学微积分应该跳过这个迂腐的过程---除非你是数学呆子，才会去证明 \lim_{x\to 4} x = 4 。另外，微积分这个名词也需要解释一下。微积分的原始洋文是calculus，其愿意是" pebble used as a reckoning counter "，即用于算账数数的小石子。而中文翻译显然是微分+积分之意，并不十分准确。好，微积分的迷信被破除了，神秘的面纱被剥光了，我们可以直奔主题了。前文中，我们举了一个例子，如果知道物体的位置如何随时间变化，我们就可以算出它在某个时刻的速度，方法也就是小学算术学的：距离除以时间。不过在微积分中，我们把时间间隔取得极短，最后干脆令时间差接近等于零，算出的速度叫做即时速度。为了复习这个方法，我们再做道练习，顺便用微积分解决一个有意义的物理问题。假设物体位置x与时间t的关系是 x = e ^ t ，该物体的速度是多少，加速度又是多少？解答：按照前文的方法依样画葫芦, v= \frac{x_{t+h} - x_{t}}{h} = \frac{e^{t+h} - e^t}{h}= e^t \frac{e^h -1}{h} 以上不过是在计算时刻 t到时刻t+h的平均速度，完全是精确的初中代数，没有任何花头可言。这一点大家都承认吧？接下来微积分开始了。我们让上面的h变得很小，看看这个 \frac{e^h -1}{h} 是多少，小学数学程度的可以用计算器，比如说, h=0.1, \frac{e^{0.1} -1}{0.1} = 1.05 ; h=0.01, \frac{e^{0.01} -1}{0.01} \approx 1.005 ; h=0.001, \frac{e^{0.001} -1}{0.001} \approx 1.0005 。。。我们估计这个 \frac{e^h -1}{h} 当h接近零的时候，八成等于1。初中以上数学程度的可以试一下证明它确实等于1。由此，我们就根据初中代数得出一个结论，如果位置 x = e ^ t ，速度就是 v = e ^ t ，数学公式完全相同（当然单位不同）。加速度呢？加速度是速度差除以时间差，依法炮制，我们也会得出加速度 a = e ^ t 。现在我们把问题稍微变复杂一点，假设这个指数不是t，而是t乘以一个常数 \lambda ，也就是说 x = e ^{\lambda t} ，我们再来算算速度看看？ v= \frac{x_{t+h} - x_{t}}{h} = \frac{e^{\lambda(t+h)} - e^{\lambda t}}{h}= e^{\lambda t} \frac{e^{\lambda h} -1}{h} ，以上又是初中代数，没有任何玄乎。而且我们发现这指数还真有意思，算出速度来又是自己，只是后面乘了一个 \frac{e^{\lambda h} -1}{h} ，它是多少呢？下面又是初中数学，仅仅是把分子分母同时乘上 \lambda ： \frac{e^{\lambda h} -1}{h} = \lambda \frac{e^{\lambda h} -1}{\lambda h} 根据前面的结果我们知道 \lambda h 很小时， \frac{e^{\lambda h} -1}{\lambda h} =1 。因此， \frac{e^{\lambda h} -1}{h} = \lambda \frac{e^{\lambda h} -1}{\lambda h} = \lambda 。所以当 x = e ^{\lambda t} ，得出速度 v= \frac{x_{t+h} - x_{t}}{h} =\lambda e^{\lambda t} ，也就是说 v = \lambda x 。以此类推，我们可以得出加速度 a =\lambda^2 e^{\lambda t} =\lambda^2 x 。有了以上的微积分基础，我们可以用来解决物理中极为重要的振动的问题。小学生都知道牛顿第二定律，F = ma ，初中物理又学过所谓的胡克定律，弹簧的拉力 F = -kx , 就是说弹簧的拉力与拉长（或压缩成正比），方向与拉长方向相反（就是你拉它、它往回拉），这个k叫做弹性系数。如果弹簧上栓个质量为m的物体，那么F=ma告诉我们： F = -kx = ma 也就是说 a = - \frac{k}{m} x . 这个 \frac{k}{m} 取决于弹簧的弹性系数与所栓的物体质量，对于具体问题来说是个常数。上面这个弹簧振动的方程我们在微积分里被称为一个二阶线性常微分方程，但我们可以不管这些玄乎的名词。对比一下上面的 x = e ^{\lambda t} ，推出 a =\lambda^2 e^{\lambda t} =\lambda^2 x ，我们可以发现这与弹簧振动的方程是非常类似的。如果 \lambda^2 = -\frac{k}{m} , 那么 x = e ^{\lambda t} 就可以满足上面的振动方程了。当然了，这个 \lambda = \sqrt{-k/m} 是个虚数。而根据高中数学， e^{i\theta} = \cos\theta+ i \sin\theta 。也就是说 e^{\sqrt{-\frac{k}{m}}t}= \cos\sqrt{\frac{k}{m}}t + i\sin\sqrt{\frac{k}{m}}t 由此，我们得出弹簧振子会按正弦函数运动，其角频率是 \sqrt{k/m} ，频率就是 \frac{\sqrt{k/m}}{2\pi} 。; 个人分类: 科普|8028 次阅读|8 个评论

分享科普：小学微积分入门: 热度 6 岳东晓 2013-10-3 06:41; 前面看了老虎转帖的陈景润科普微积分，其中写道【读理工和经济的人都知道，从初等数学到高等数学的第一个坎就是微积分的极限理论。这就是微积分教学中臭名昭著的数列极限一扑死弄——Ｎ理论】。而陈景润举了一个【“一尺之棰，日取其半，万世不竭”】例子。假设这个转帖是事实，陈景润确实讲了这么一堂科普，我觉得下面鼓掌的人多半是稀里糊涂。我的评论是：【陈景润的科普在我看来相当的蹩脚。首先他没有解答一个问题：学数学学昏了，要搞 ϵ做什么？牛顿发明微积分时用的符号是0+，牛顿之后100多年，搞数学的才引入这个ϵ，所以你得解释动机，否则听的人再鼓掌，也是稀里糊涂。其次，他举的例子显得笨拙。你要解释这个只需要用1/n即可，N很简单1/\epsilon。他找了一个对半分的，那么N就需要涉及对数。而且他显然对对半分10000次缺乏概念。】第一点要打破的是所谓“ 极限理论”是初等数学到高等数学的第一个坎的教条。这种认识是死读书、读死书的结果。确实，上高数时，课本大多一开始就讲这个 \epsilon-\delta ，学生也会依样画葫芦搞几个证明。但牛顿、莱布尼茨、欧拉、柯西、伯努利、拉格朗日这些物理、数学大师玩微积分（包括变分法）玩到极致，从行星轨道、波动方程（偏微分方程）、流体力学到分析力学（变分法），都从来没有听说过什么 \epsilon-\delta 。这说明搞微积分根本不需要知道这个“一谱系笼 ”。这个 \epsilon-\delta 对于物理科学、工程、经济类来说其实没用，你在解决微积分应用问题时不需要这个。那些死读书的正是因为没有搞清基本概念，看得莫名其妙，才把它当成了圣经。所以，学东西得用脑子，不能被老师牵着鼻子、跟着课本走。下面我来科普一下微积分，五分钟搞定。假设你手拿一个小球爬到一个万丈深渊边上、向下俯看，突然手一松，球掉下去了。你发现，随着时间的推移，小球掉下去的距离越远（或者说越来越深）。一秒钟后，你发现它掉下去5米，两秒钟后已经下去20米，三秒钟的时候，掉到了45米的深度。你脑袋一拍，意识到这个掉下去的距离 H(米为单位）与时间t（秒为单位）的关系应该是5乘以t的平方： H=5 t^2 。有了这个距离与时间的关系，你可以计算出4秒钟的时候，小球掉下去5*4*4 = 80（米）。类似的，3.99秒时，其掉下的距离为 5*3.99*3.99= 79.6005 米。好有了这个，我们可以开始搞微积分了。我们提出一个问题：4秒钟的时候，小球的速度是多大？小学生都知道，速度等于距离除以时间。比较天真的小学生会想：四秒钟的时候，小球掉下去80米，速度是80/4 = 20 米每秒。但如果在仔细想想，小球开始是不动的，越往下掉越快，上面这个数字不是4秒钟时候球的速度，而只是前4秒钟的平均速度。那四秒钟的时候，速度怎么算更准确？让我们考虑从3.99秒到4秒之间这百分之一秒小球的运动情况，距离是 80-79.6005= 0.3995米，时间是 0.01秒，距离除以时间得 39.95 米每秒。当然这其实还是一个0.01秒的平均速度，我们如果要更精确点，可以算算 3.999秒到4秒之间千分之一秒的情况，距离是 5*4*4 - 5*3.999*3.999 = 0.039995米，时间是0.001秒，得出速度为39.995米每秒。你可以把时间间隔变得更小，继续精算，发现这个速度更加接近 40米每秒。以上是小学算术。下面我们用点初中数学，搞点符号运算。让我们算一下从时刻 t 到时刻 t + h 的平均速度，我们有距离 = D = 5 (t+h)^2 - 5t^2 = 5(t^2+2th +h^2) - 5t^2 = 10t h + 5h^2 ,而时间就是 t+h-t =h 。因此，平均速度是 v= (10 th + 5h^2)/h = 10 t + 5h 。以上是初中数学。这是没有问题的吧？我们可以把前面的数字放进去，结果是一样的。例如要算从0秒到4秒的平均速度，t=0, h=4, 得出 v = 10*0 + 5 *4 = 20。又如 3.99秒到4秒，也就是t = 3.99, h = 0.01，得出v = 10 *t + 5*h = 10*3.99 + 5*0.01=39.95，跟我们上面用小学算术算出的结果相同。另外，我们看到，如果时间差 h 设得更小一点，这个5*h项也就越来越接近0，我们何不干脆忽略它，而把 v=10t 称为时刻t的速度？可以说，这个考虑h微小而把h扔掉的这一步就是微积分的核心思想。当然了，反对的人会这么讲：如果h为0，你上面就是0除以0，除以0 是不可以的，如果h不为0，你又怎么说 v=10t + 5 h= 10t 呢? 不管h多小，这个等式是不成立的。牛顿发明微积分后100多年，大部分数学家、物理学家对上述质疑基本不予理睬，因为他们没时间去在这个问题上纠缠。等微积分领域能玩的东西都玩得差不多了，还有人提出这个问题烦人，甚至有人还嘲笑微积分是鬼扯，数学家们这才觉得这个等号确实不够严谨，于是把等式换成不等式，也就是 10t v 10t + 5h ， h -- 0， v -- 10t. 这下大家都没话讲了。这就是所谓的 “ 一谱戏聋--得耳塌 ”。对微积分感兴趣的，可以继续自学，但这东东其实小学生也能理解，没那么玄乎。; 个人分类: 科普|7067 次阅读|5 个评论

更多...

Archiver|手机版|珍珠湾全球网

GMT+8, 2024-6-6 16:58 , Processed in 0.040642 second(s), 11 queries , Apc On.

回顶部

		自动登录	找回密码
密码			用户注册

zhenzhubay.com

标签: 微积分

相关帖子

相关日志