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分享 伽利略与亚里士多德之辩
热度 1 岳东晓 2016-9-23 15:12
这两天看到一系列理论物理与实验物理关系的争论，很值得思考。物理是一门数学化的精确科学。如果理论结果跟实验在误差范围之外有区别，就说明理论得修正了。以水星的轨道进动为例，很多人可能以为水星轨道进动纯粹是一个广义相对论效应，其实不然。水星轨道每100年进动 5600 弧秒 （1.555度）。用牛顿万有引力考虑其他行星的作用，计算结果是水星每世纪进动 5557 弧秒，牛顿力学理论与观测的差别只有每世纪 43 弧秒（43/3600= 0.012 度），理论与观测的误差约 0.8%。对于很多学科来说，小于1%的误差已经非常满足了。但物理是数学化的精确科学，理论误差应该是零。爱因斯坦的广义相对论的验证之一正是解释了这个0.8%的差别。 爱因斯坦的广义相对论来源不是实验，而是一系列思想实验(thought experiment)以及基本物理原理。其中一个思想实验就是自由落体，而物理原理则是相对性原理。这两者都可以追溯到伽利略。但对这两个问题，课本上的介绍很可能是误导性甚至错误的。我这篇文章试图进行一个比较准确的陈述。 伽利略在其一本未发表的手稿《论运动》中，就自由落体进行了下列的“逻辑”论证： 假设重的物体下落速度快，轻的物体下落速度慢。例如，一个重8，一个4。现在把这两个物体连在一起，总重量12；由于轻的物体速度慢，它会拖那个重的部分的后腿，因此组合体速度应该小于8；由此可见：重量加大，速度反而更慢。与假设矛盾！可见轻重物体下落速度相同。 看到这么简单的“证明”，我们可能会拍案叫绝。但仔细一想，我不得不问，亚里士多德应该是一个智力极高的人物，物理学就是他创立的，逻辑学也是他的发明，为什么他想不到这个简单的道理呢？ 莫非伽利略这个论证是错误的？为此，我们可以试着推广伽利略的证明。下面我们仅仅是把重量换成可以相加的属性Q： 假设可相加属性Q大的物体速度快。一个Q=8，一个Q=4，捆在一起 Q=12；由于Q=4的速度慢，会拉 Q=8的后腿，可见 Q=12的比 Q=8的慢。Q大的慢，与假设矛盾。因此不同Q的物体速度相同。 上面的Q如果是重量，与实验结果相同。但如果是均匀电场里的电荷Q，上面的结果显然不正确。一个带电q、质量为m球的加速度正比于 q/m， q 越大加速度越大。两个球组合起来加速度正比于 (q1+q2)/(m1+m2)，与 q1/m1的比例是 （1+q2/q1)/(1+m2/m1)，组合体的加速度完全可能大于电荷大的那个的加速度。这个例子足以说明伽利略的论证其实有着极大的缺陷 -- 除非我们增加一个假设条件，那就是速度只与Q有关。如果速度只与Q有关，那么上面的逻辑表明，不同Q物体的速度相同，也就是说物体速度与Q无关。进一步，我可以说，不存在这样的可叠加属性，物体的速度只与这个属性有关。 伽利略之后的牛顿正确地分析了自由落体问题。牛顿意识到物体有两个属性，一是参与引力作用的量，一个是衡量惯性的量，前者称为引力质量（也可以称为引力荷） ，后者称为惯性质量 。物体的重量 加速度 为 。可见，如果引力质量与惯性质量不同，真空中自由落体速度是可能不同的。牛顿力学里把这两个质量等同，物体（点）在引力场里的运动轨迹与其质量无关。 爱因斯坦根据惯性质量与引力质量相同 这一点建立了等效原理，再根据相对性原理，推导出了广义相对论方程。 但是为什么惯性质量与引力质量相同？ 我们只能说自然界就是如此---至少 我们目前的实验没有发现不同 。 物理有两种实验，一种是基本原理性实验，这是物理理论 的基础。 惯性质量与引力质量差别的实验属于基本原理性实验，如果发现两者有差异，那么广义相对论得修正了。HIGGS波色子探测也是基本原理实验，找到了它，我们对标准模型就放心了，可以继续算，算到10几位有效数字。另 一种是应用性实验，这种是理论的应用，往往依赖基于基本原理的理论的指导。从量子计算到量子生物都是薛定谔方程的运用。不排除在理论应用性实验中发现与基本原理矛盾的情况，但在物理里这是极少发生的。如果发生了，那就是又一次文明的革命。 回到亚里士多德，他真是人们认为的那样头脑简单，声称自由落体速度与重量成正比吗？难道他没看到两个大小不同的铁球掉下去速度差不多？ 看看他怎么说的吧。在其《物理》一书第 4.8 章，亚里士多德写道： 如果形状大小相同 ，那么物体的终极速度正比与重量，反比于其所在运动介质的密度，v = W/d 。这个结果对于流体中的运动至少在低速情况是正确的。然后亚里士多德举了空气与水作为例子。可见长期以来，我们误解了亚里士多德。 在同一章节里，亚里士多德论证如果介质密度为0，则速度是无穷大。亚里士多德认为这是不可能的。他由此结论，不存在真正的真空。后人总结为 "Natura abhorret vacuum." （自然界厌恶真空） 联想一下希格斯场与希格斯机制，我们无法小看亚里士多德的物理洞察力。
个人分类: 科普|4891 次阅读|1 个评论
分享 潮汐的科普与计算（更新）
岳东晓 2016-7-28 10:20
我之前写过几篇潮汐的科普，并且计算了 潮汐高度随角度的变化 。但这个计算忽略了一项。因此，我重新计算一下。顺便再从概念上讲讲。 古代中国人就知道潮汐主要是由月球引起的。牛顿在发现其运动定律及万有引力之后，对月球和太阳引起的潮汐进行了计算，但据说有错误（由于牛顿的《自然哲学的数学原理》一书只用了简单的几何和代数，其计算非常繁琐，现在很难看清）。在电影《Interstellar》中，浅水出现非常高的潮汐，应该算是过度科普。那么潮汐是怎么引起的呢？ 很多人以为月亮在头顶上时，它对地面引力最大，于是把水吸起来了，好像是吸尘器吸篮球上的水一样，但这是一个错误的图像。实际上，地球是一个自由物体，在引力中相当于自由落体，在上面是感觉不到外界（如太阳与月亮）引力的。这跟神舟飞船上的宇航员感觉不到地球引力是同样的道理。但感觉不到引力是一个近似。因为地球引力是不均匀的，宇航员身体不同部分受到的地球引力有细微的差别，如果宇航员头朝地球，头离地球近，头受到的地球引力比脚受到的引力略大，这个力的差别对宇航员来说好像有力在拉伸。这就是所谓潮汐力。由于人的长度远远小于地球轨道半径，这个力差非常微小，人感觉不到。如果人往黑洞里掉，开始也会毫无感觉，自由落体完全失重，但当靠近黑洞中心时，头脚受到引力差很大，或者说潮汐力很大，就会受不了了。 类似的，在月球引力下，地球获得相应的加速度。这个加速度的计算可以把地球看成质量集中于地心的一个点，可以通过月-地的万有引力除以地球质量计算。但是由于面对月球的一面受到的月球引力大些，月球在这一面导致的加速度应该比地心的加速度大，这就造成了涨潮现象。有了这个物理图像，剩下就容易了，我们需要做的是计算月球（或其他天体）在地心的引力与地心外引力的差。 如下图。地心在原点 O，天体质量为 m，x 轴是地心 O 到天体中心Q 的连线，现在我们计算离地心距离为 r某点A的潮汐力, 角度 AQO为 \theta , 角度 OAQ 为 \phi . 潮汐力 f为 (为看起来方便，输入公式也简单点，我把 G*m 挪到了左边） \frac{\vec{f}}{Gm} = \frac{\vec{D} -\vec{r}}{|\vec{D} -\vec{r}|^3} - \frac{1}{D^2} \hat{x} = \frac{1}{D^2 - 2Dr \cos\theta +r^2}(\cos\phi \hat{x} - \sin\phi\hat{y}) - \frac{1}{D^2} \hat{x} 因为 月地距离 D 远远大于 r，我们近似有 \sin\phi \approx \frac{r \sin\theta}{D}; \hspace{0.5cm} \cos\phi \approx 1 - \frac{r^2\sin^2\theta}{2D^2} 代入上面的公式，我们发现 1/D^2 项抵消了。保留到 1/D^3 项，我们有 \frac{\vec{f}(\vec{r})}{Gm} =\frac{r}{D^3} \left(2\cos\theta \hat{x} - \sin\theta\hat{y}\right) 之前我的计算忽略了上面第二项（ y 方向）。潮汐力计算出来了，怎么计算潮汐高度呢？ 如果水面达到平衡，那么水面各点的引力势相同，因此，我们以地心为原点，计算潮汐力的势 V ， V(\vec{r}) = - \int_0^r \vec{f}\cdot d\vec{r} \frac{-V(\vec{r})}{Gm} =\frac{r^2}{D^3} \left( \cos^2\theta - \frac{1}{2}\sin^2\theta\right)= \frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right) 或者说 V(\vec{r}) = -Gm\frac{r^2}{4D^3} \left(3\cos 2\theta+1\right) 潮汐高度 H 等于 上述势的地表值除以 重力加速度， 利用 g = GM_e /R^2 (M_e 为地球质量）。 H_{tide}(\vec{R}) = - V(\vec{R})/g = \frac{m R^4}{4M_e D^3} (3\cos 2\theta+1) . 其中 {\displaystyle m} 是造成潮汐的天体质量， {\displaystyle M} 为地球质量， {\displaystyle R} 为地球半径， {\displaystyle D} 为地球到天体的距离， {\displaystyle \theta } 是该地点与地心的连线与地心--天体连线的夹角。由此公式计算出月球产生的最大潮汐高度为40厘米，太阳引发的潮汐高度为16厘米。 其随位置（角度）变化图示如下 上面的公式里有个精确的整数2。这意味着每天要涨两次潮。一次是正对月亮，明月当空，一次是当月亮在地球的背面。
6798 次阅读|0 个评论
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热度 10 稻草 2014-5-31 12:16
苹果为什么落地 大凡人们都以为牛顿已经解决了“苹果为什么落地”的问题。其实错了，不仅牛顿没有完全解决这个问题，人类也许永远也不可能完全解决这个问题。但是，任何物理学基础理论又都要对“苹果为什么落地”作出自己的回答，经典力学如此，相对论如此，统一论也是如此。 一、牛顿的苹果 牛顿当初是怎样从苹果落地得到启示而建立经典物理学理论的呢？这件事说来并不简单。在这里必须提到两个人物，一个是开普勒，一个是伽利略。开普勒发现了行星运动三定律，从而制定了天体的运动规则。伽利略发现了加速度，并将“力”界定为产生加速度的原因，从而制定了地上的运动规则。牛顿发现了什么呢？他发现苹果落地与行星之间的运动是同样的道理，都是万有引力的作用，而所谓的万有引力，其实是物体的一种质量效应。这样就有了经典物理学。但是，物体之间为什么会产生万有引力呢？牛顿不知道。牛顿时代的物理学家们讨论的是：两个相距甚远的物体之间的力是靠什么来传递的？以太论由此而产生：以太就是为传递力而设置的。我们知道，以太论已随着相对论的问世而被物理学家们所抛弃。 在相对论中，引力被当成一种场。引力场理论解决了苹果落地的问题吗？也没有完全解决。因为力和场都是一种数学模型，而并不是一种实实在在的存在。说物体之间的相互运动是由于引力的作用，或者说是由于场的作用，都没有揭示问题的本质。那么相对论的进步究竟表现在哪里呢？说到相对论，又要提到两个人，一个是麦克斯韦，他建立了电磁场方程；一个是亥姆霍茨，他发现了能量守恒定律。而爱因斯坦也就是在此基础上，建立了一个包括两个方面统一的理论，一是质量与能量的统一，二是像电磁场一样建立一种引力场。虽然这两种统一都不彻底，但爱因斯坦仍然如愿地将科学再次向前推进了一步。 二、伽利略悖论 亚里士多德认为，力是产生运动的原因，所以重的物体的自由落体速度比轻的物体快。伽利略发现了亚里士多德理论的一个悖论，即假设将一个轻的物体与一个重的物体绑在一起，那么它的自由落体速度比其中重的那个物体快还是慢呢？由于两个物体绑到一块后比其中重的物体更重，按理应该下落得更快，但两个物体绑在一起，重的物体被轻的物体拖累，又应该变慢，这样就出现了两难局面。伽利略由此发现了加速度并提出了力是产生加速度的原因的观点。在经典理论中，这种对力的界定是完全够用的。但是从逻辑上说，却有一点点纰漏。因为按照伽利略的发现，我们只能得出“产生加速度的原因是力”这样的结论，而不应该倒过来说“力是产生加速度的原因”，因为力除了能使物体产生加速度，还有其他作用。我们知道，加速度的概念是对于机械运动而言的，但物理学讨论的运动远不止机械运动。 “力”的范畴应该如何发展呢？这要从物理学的两个本质范畴——物质和运动说起。在经典力学建立之前，我们对物质和运动的量都没有科学的认识。在万有引力理论出现之后，我们才弄清楚质量与重量的区别。但是对运动的量的科学认识却不是经典力学的逻辑结论。在牛顿理论中，衡量运动的量是动量。这得益于笛卡尔的运动量（即动量）守恒思想。但笛卡尔提出动量守恒思想后不久，莱布尼兹就对其提出了挑战。他引入的是“活力”（Visviva）概念。“活力”指的是物体的质量与它的速度的平方之积（相当于动能，其值为动能的两倍），是一个标量；而动量是一个矢量。莱布尼兹认为，“活力”才是“力”的真正量度。可惜的是，莱布尼兹的“力”的观念未能得到应有的重视。这与当时数学家达朗贝尔的调解有关，达朗贝尔指出，“笛—莱”之争的实质只是个术语问题，因为“动量”是力对时间的积分，而“活力”是力对空间线度的积分。这种调解在当时的物理学视野里是正确的，因为对于机械运动而言，动量与能量具有充分的一致性。与此相应的哲学观点就认为，物质就是存在，运动是存在的属性。 但是，在物理学上，我们现在对于“存在”已经有这样一些认识：1、有一种以质量形式表现的存在，还有一种以能量形式表现的存在； 2、质量是物质的量，能量是运动的量；3、质量和能量可以相互转换，所以这两种量是平行的。这几点认识使我们清楚地看到一个与上述哲学范畴并不一致的物理范畴体系。这就是，物质和运动是并行的两种物理存在，其中物质是以质量形式表现的存在，运动是以能量形式表现的存在。这就是统一论的观点。当运动从物质属性的地位上升到与物质平行的存在的地位以后，物理学的许多观念便都要改变了。 三、对力的再认识 让我们来看公式f=ma。从定性上说，a实际上是指速度v的变化，而速度v的变化实际上是动能的变化。我们知道，力又可以写成f=dE/ds。其实，这一公式才揭示了力的本质：力实际上是用空间量衡量能量变化的物理量。这是统一论对空间维上的力的本质界定。为什么要将力由“产生加速度的原因”改为从能量的变化来界定呢？因为能量是个存在量，像质量一样；而加速度只是个性状量。这个道理就像为什么要将运动的量界定为能量而不是动量一样。 f=dE/ds揭示了存在体在空间维上的力的本质。但正如爱因斯坦所指出的，时空是不可分割的物理载体。统一论认为，存在体的运动不光体现在空间维上，还体现在时间维上。那么，存在体在时间维上的力是如何体现的呢？从时空量子化的物理实践中，我们看到，由于质量与能量可以相互转换，故时间和空间也可以相互转化。这就是说，存在一种“时空当量”，可以将时间量转换为空间量。而存在体的运动引起的时间位移则可用dt表示，这样，存在体在时间维上的力就可描述为f=dE/dt。其中dt由相对论的钟慢效应公式来决定。 统一论接着考察了“场”这一物理范畴，发现“场”的客观基础也是能量。宇宙中任何存在体都是由某些对应的能量体系支撑的，这些能量体系的结构就是所谓的场。由此可见，“力”和“场”都是描述“能”的物理范畴。“力”是描述能量变化的，“场”是描述能量体系结构的。 四、平方反比之谜 为什么万有引力遵循平方反比定律？牛顿说，根据开普勒三定律，行星之间的吸力遵循平方反比定律，而天上与地下的引力作用遵循同一规律。无独有偶，库仑定律表明，电荷之间的作用力也遵循平方反比定律。这仅仅是巧合吗？为什么对天体运动数据的记录，对地球上物体之间的作用和电荷之间作用的实验都支持平方反比定律？这是一个令人困扰的科学之谜。 这一科学之谜在统一论中被破解，而且相当简单： 既然“场”是能量体系的结构，建立“场”的理想模型就要从描述这种结构入手。统一论引入的是“场级”的概念。一个存在体的能量支撑体系（即场）的结构，可以用该场对周围其他场发生作用的能力来表征，这种能力就是所谓的“场级”。 考察一静止状态的存在体的联结场，其对周围其他场发生作用的能力即场级Er应当与该存在体的存在量（如质量、能量）Z成正比（存在量越大作用越大），与距离r成反比（距离越远作用越小），用数学式表示为：Er～Z/r。而两个存在体Z1和Z2的联结场之间相互作用力f的大小，用两者分别在对方位置的场级的积表征，即：f～Z1 Z2/ r^2 。这正是万有引力公式和库仑定律公式的形式，也是存在体之间相互作用的普适公式。这一公式使平方反比之谜大白于天下。 五、爱因斯坦情结 爱因斯坦的统一场情结是众所周知的史实。统一论建立的统一场理想模型也解开了这一情结。 前面讨论的是存在体静止时的场模型。考虑存在体Z运动时，则其联结场结构由于运动而被破坏，从而产生一附属场，附属场的结构又由于运动而被破坏，从而产生第二附属场……以至无穷。这样就会产生一无穷层次的场结构，这就是场的理想模型，即统一场。由于统一场是一无穷层次结构，所以统一场的理想模型是不可解的，但是我们可以只考虑联结场或第一附属场，从而求出其近似解。根据场级的概念，附属场的场级与存在量Z成正比，与运动速度v在联结场或前一级附属场作用方向的分量vcosθ成正比，与距离r成反比。即：Er～Zvcosθ/r。若以一级附属场为例，则两个存在体Z1和Z2的一级附属场之间相互作用力f的大小，可用两者分别在对方位置的场级的积表征，即：f～Z1 cosθ1Z2cosθ2/ r^2 。而这正是磁场力公式的形式。我们知道运动的电场产生磁场，真可谓不谋而合。 事实上，在电磁场理论中，所谓电场强度E和磁场强度B就是起场级概念作用的范畴，其值分别为单位距离的电场场级和磁场场级：E=q / r^2 ～Er/r和B=qvcosθ/ r^2 ～Er/r。而将统一场理论运用于引力场时，用一级附属场近似就可解决“光线偏折”和“水星近日点进动”等问题，求出的结果与相对论一致，说明广义相对论相当于引力统一场的一级近似。这也从另一个侧面说明了统一场理想模型的正确性和实用性。 科学探索是无止境的。苹果为什么落地？要解决这个问题，只有不断将科学推向前进。
个人分类: 科学革命|4358 次阅读|12 个评论
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热度 11 稻草 2013-12-3 22:42
伽利略悖论 亚里士多德认为，力是产生运动的原因，所以重的物体的自由落体速度比轻的物体快。伽利略发现了亚里士多德理论的一个悖论，即假设将一个轻的物体与一个重的物体绑在一起，那么它的自由落体速度比其中重的那个物体快还是慢呢？由于两个物体绑到一块后比其中重的物体更重，按理应该下落得更快，但两个物体绑在一起，重的物体被轻的物体拖累，又应该变慢，这样就出现了两难局面。伽利略由此发现了加速度并提出了力是产生加速度的原因的观点。在经典理论中，这种对力的界定是完全够用的。但是从逻辑上说，却有一点点纰漏。因为按照伽利略的发现，我们只能得出“产生加速度的原因是力”这样的结论，而不应该倒过来说“力是产生加速度的原因”，因为力除了能使物体产生加速度，还有其他作用。我们知道，加速度的概念是对于机械运动而言的，但物理学讨论的运动远不止机械运动。 “力”的范畴应该如何发展呢？这要从物理学的两个本质范畴——物质和运动说起。在经典力学建立之前，我们对物质和运动的量都没有科学的认识。在万有引力理论出现之后，我们才弄清楚质量与重量的区别。但是对运动的量的科学认识却不是经典力学的逻辑结论。在牛顿理论中，衡量运动的量是动量。这得益于笛卡尔的运动量（即动量）守恒思想。但笛卡尔提出动量守恒思想后不久，莱布尼兹就对其提出了挑战。他引入的是“活力”（Visviva）概念。“活力”指的是物体的质量与它的速度的平方之积（相当于动能，其值为动能的两倍），是一个标量；而动量是一个矢量。莱布尼兹认为，“活力”才是“力”的真正量度。可惜的是，莱布尼兹的“力”的观念未能得到应有的重视。这与当时数学家达朗贝尔的调解有关，达朗贝尔指出，“笛—莱”之争的实质只是个术语问题，因为“动量”是力对时间的积分，而“活力”是力对空间线度的积分。这种调解在当时的物理学视野里是正确的，因为对于机械运动而言，动量与能量具有充分的一致性。与此相应的哲学观点就认为，物质就是存在，运动是存在的属性。 但是，在物理学上，我们现在对于“存在”已经有这样一些认识：1、有一种以质量形式表现的存在，还有一种以能量形式表现的存在； 2、质量是物质的量，能量是运动的量；3、质量和能量可以相互转换，所以这两种量是平行的。这几点认识使我们清楚地看到一个与上述哲学范畴并不一致的物理范畴体系。这就是，物质和运动是并行的两种物理存在，其中物质是以质量形式表现的存在，运动是以能量形式表现的存在。
个人分类: 科学技术|5368 次阅读|17 个评论
分享 牛顿是怎么发现万有引力的
热度 16 兔儿爷 2012-10-15 14:08
大家都说是苹果砸到牛顿头上，牛顿才发现了万有引力。 可是你知道苹果砸到头上以前发生了什么么？ 为什么苹果没砸到别人头上 却偏偏砸到牛顿头上了呢？ 还原一个万有引力发现的历史真相： 话说那天牛顿在苹果树下读书。 突然听到身后有脚步声。 一回头...... 于是我们从此要学万有引力了。
个人分类: 幽默|6189 次阅读|11 个评论
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